ecuacion de la linea normal

La recta norma a una curva en un punto de tangente dado, es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto.

Para determinar la pendiente de una línea normal se utilizará la fórmula:

m= -1/f´(x)

Caso 1: Determina la ecuación de la línea normal a la función f(x)=x2-4x+5 en el punto x=1



1° Sustituir X en la ecuación de la curva para determinar Y.

f(1)=(1)2-4(1)+5

f(1)=1-4+5

y1=2



2° Determina la pendiente m= -1/f´(x) mediante la fórmula de la pendiente de una recta normal que intersecta a una curva.

m=-1/2x-4

m=-1/2(1)-4

m=-1/2-4

m=-1/-2

m=.5



3° Sustituir la ecuación de la forma punto pendiente.

y-y1=m(x-x1)

y-2=.5(x-1)

y=.5x-.5+2

y=.5x+1.5



Caso 2: Determina la ecuación de la línea ormal de la ecuación f(x)=x2-x+1 en el punto de la tangencia (2,3).



1° Determina la pendiente con la ecuación m= -1/f´(x)

f(x)= x2-x+1

f(x)=2x-1



m=-1/f´(x)

m=-1/2x-1

m=-1/2(2)-1

m=-1/4-1

m=-1/3



y-y1=m(x-x1)

y-3= -1/3 [x-2]

y=-1/3x+2/3+3

y=-1/3x+3.6 ó y= -1/3+11/3

ecuacion de la linea tangente

La linea tangente es la recta que toca un punto de la curva.

y el punto es común entre la tangente y la curva es el punto de tangencia.

Para determinar la ecuación de una línea recta, conocida la pendiente y el punto de la misma, se emplea la forma de punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

para determinar la ecuación de la línea tanfente a una curva de

una función f(x) en un punto de tangencia p(x,y) se sugiere seguir los siguientes pasos:

1°. Definir las coordenadas del punto de tangencia en el valor xi dado.


2°. Calcular la pendiente empleando la derivada, ya que mi=f´(xi).


3°. Determinar la ecuacipon de la tangente utilizando la forma de punto-pendiente: y-y1=m(x-x1)

Solución.


1° Se definen las corrdenadas del punto de tangencia:





Si x=1, se calcula el valor correspondiente de y.





y=f(x)=x2-4x+5


y=f(1)= (1)2-4(1)+5


y=2





El punto de tangencia tiene coordenadas p(1,2).


2°. Se calcula lapendiente con m=f´(x), para x=1.


f(x)=x2-4x+5


m=f´(x)=2x-4


m=f´(1)=2(1)-4


m=-2





3°. Se determina la ecuación con la forma punto-pendiente.


y-y1=m(x-xi)


y-(2)=(-2)[x-(1)]


y=-2x+2+2


y=-2x+4

derivada de orden superior

Para determinar una derivada de orden superior en sí se debe proceder a calcular la derivada de primer orden, luego sí cálculo la derivada derivada de primer orden, continuo con la derivada de la segunda y asi sucesivamente derivada hasta Llegar a la derivada deseada.

La notacion comun utilizada pára las derivadas de orden superior es la siguiente:

• Primer derivada: dy/dx = f '(x) = y'
• Segunda derivada: d2y/dx2 = f''(x) =''y
• Tercera derivada: d3y/dx3 = f'''(x) =''y'
• Cuarta derivada: d4y/dx4 = f (4) (x) y = (4)
• Enesima derivada: dny/dxn = f (n) (x) = y (n)

reglas basicas

1. Para una constante ´´a´´:
Si f(x) = a, su derivada es f´(x)=0
F(x)=16 f´(x)= 0

2. Para la función identidad f(x)=x
Si f(x)= x, su derivada es f´(x)=1

3. Para una constante ´´a´´ por una variable ´´x´´
Si f(x)= ax, su derivada es f´(x)=a
F(x)= 8x f´(x)= 8

4. Para una variable ´´x´´ elevada a una potencia ´´n´´.
Si f(x)= xn, su derivada es f´(x)= nxn-1
F(x)= x4 f´(x)= 4x3

5. Para una constante ´´a´´ por una variable ´´x´´ elevada a una potencia ´´n´´.
Si f(x)= axn, y su derivada es f´(x)= anxn-1
F(x)= 8x3 f´(x)= 24x2

Para una suma de funciones:
Si f(x)= u(x) + v(x), su derivada es f´(x)=ú(x) +v´ (x)
Si f(x)= 5x2 + 8x, su derivada es f´(x) = 5x + 8

Si f(x)= 4x2 + 6x, su derivada es f´(x) = 5x5 + 3

Regla del producto.
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo: f(x) = (8x5 + 3)(7x7 – 7); la regla del producto es:
Si ´´u´´ y ´´v´´ son los polinomios:
La función: f(x) = uv
Su derivada: f´(x) = u´v + uv´

la derivda

La derivada es el limite del cociente del incrmento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero, lim ^x-o= ^y/^x.

punto critico

El punto critico, tambien llamdo valor critico, es aquel punto del dominio de la funcion diferenciable en ese punto, en donde la primer derivada es igual a cero o bien la derivada no existe.